ک م م یا کوچکترین مضرب مشترک به روش تجزیه درختی اعداد

محاسبه ک م م یا کوچکترین مضرب مشترک به روش تجزیه درختی

یکی از روش های محاسبه ک م م یا همان کوچکترین مضرب مشترک دو عدد ، تجزیه آنها به روش درختی و نوشتن اعداد به صورت حاصلضرب شمارنده های اول است. در درس تجزیه عدد به شمارنده های اول به روش تجزیه درختی یاد گرفتیم که چطوری میشه به روش درختی عددها رو تجزیه کرد. در مورد محاسبه ک م م جمله زیر رو به خاطر بسپارید :

ک م م برابر است با حاصلضرب شمارنده های اول مشترک با بیشترین تکرار در شمارنده های غیرمشترک

خب شمارنده های اول یک عدد رو از کجا باید پیدا کنیم؟؟؟ بله از راه تجزیه عدد

با یه مثال درس رو توضیح میدم براتون.

مثال :‌ ک م م دو عدد ۱۸۰ و ۴۸ را پیدا کنید.

ابتدا باید اعداد ۱۸۰ و ۴۸ رو به صورت درختی تجزیه کنیم :

پس از تجزیه این عدد ها می تونیم اون ها رو به صورت حاصلضرب شمارنده های اولشون به صورت زیر بنویسیم:

۱۸۰=۲ × ۲ × ۳ × ۳ × ۵

۴۸=۲ × ۲ × ۲ × ۲ × ۳

همون طوری که میبینید عدد ۱۸۰ دارای شمارنده های ۲ و ۳ و ۵ هست و عدد ۴۸ دارای شمارنده های ۲ و ۳ است. برخلاف ب م م برای محاسبه ک م م ما از همه شمارنده ها استفاده میکنیم. چه مشترک باشند و چه مشترک نباشند.

یک باره دیگه جمله اساسی تعیین ک م م  رو میگم براتون. ک م م برابر است با حاصلضرب شمارنده های اول مشترک با بیشترین تکرار در شمارنده های غیر مشترک. این جمله سه مرحله مهم داره :

1. شمارنده های مشترک با بیشترین تکرار
2. شمارنده های غیرمشترک
3. حاصلضرب

از تجزیه اعداد مشخص میشه که شمارنده های مشترک ۲ و ۳ هستند. ببینیم بیشترین تکرار کدومه :

عدد ۱۸۰ دوتا ۲ داره و عدد ۴۸ چهار تا ۲ . ما بیشترین تکرار رو انتخاب میکنیم. یعنی چهار تا ۲

عدد ۱۸۰ دوتا ۳ داره و عدد ۴۸ یکی ۳ . ما بیشترین تکرار رو انتخاب میکنیم، یعنی دو تا ۳

شمارنده های غیرمشترک ۱۸۰ و ۴۸ هم فقط یک دونه ۵ هست.

در آخر ، فقط کافی هرچی که انتخاب کردیم رو در هم ضرب کنیم. باید چهار تا ۲ ، دوتا ۳ و یکی ۵ رو باهم ضرب کنیم :

 ۷۲۰ = ۵×۳×۳×۲×۲×۲×۲ = ک م م دو عدد ۱۸۰ و ۴۸

دیدید چه آسون بود !

پس به صورت خلاصه میگم اول هر دو عدد رو تجزیه میکنیم ، بعد می بینیم از بین شمارنده های مشترک کدوم عدد تکرار بیشتری داره. همونا رو در همه شمارنده های غیرمشترک با هر تعدادی که هست ضرب میکنیم.

آهاااااا……… راستی یادم رفت که بگم ک م م دو عدد رو با گذاشتن کروشه دور عددا نشون میدن. مثلا :

[۴۲ و ۱۰] یعنی ک م م دو عدد ۱۰ و ۴۲

چندتا مثال دیگه میزنم براتون :

با استفاده از روش تجزیه ک م م اعداد داده شده را بدست آورید.

الف –  [ ۳۰ و ۵۰ ]

پاسخ الف :

ابتدا اعداد را تجزیه درختی میکنیم:

حال اعداد را به صورت حاصلضرب شمارنده های اول مینویسیم :

۵۰ = ۲ × ۵ × ۵

۳۰ = ۲ × ۳ × ۵

فقط شمارنده های ۲ و ۵ مشترک هستند. عدد ۲ در ۵۰ و ۳۰ یکبار تکرار شده، پس بیشترین حالتش هم همین یک بار هست. اما عدد ۵ در ۵۰ دوبار و در ۳۰ یکبار تکرار شده. بیشترین حالت دوبار هستش. شمارنده ی غیرمشترک هم که فقط یه دونه ۳ هست. بنابراین باید یک عدد ۲ و دو عدد ۵ و یک دونه ۳ را در هم ضرب کنیم :

[ ۵۰ , ۳۰ ] = ۲ × ۵ × ۵ × ۳ = ۱۵۰

ب – [ ۴۴۱ و ۱۴۷ ]

پاسخ ب :

ابتدا اعداد را تجزیه درختی میکنیم :

حال میتوانیم اعداد را به صورت حاصلضرب شمارنده های اول مینویسیم :

۱۴۷ = ۳ × ۷ × ۷

۴۴۳ = ۳ × ۳ × ۷ × ۷

هر دو شمارنده مشترک است. بیشترین حالت تکرار عدد ۳ دوبار است که مربوط به عدد ۴۴۳ میشه و بیشترین تکرار عدد ۷ هم دوبار هست چون در هر دو عدد ۱۴۷ و ۴۴۱ عدد ۷ دوبار تکرار شده. بنابراین باید دو عدد ۳ و دو عدد ۷ را درهم ضرب کنیم :

[ ۱۴۷ , ۴۴۱ ] = ۳ × ۳ × ۷ × ۷= ۴۴۱

نکته : ک م م هر دو عدد متوالی برابر با حاصلضرب آن ها است.

مثال : ۵۶=[۸و۷]

تمرین : ک م م دو عدد ۱۲۰ و ۷۵ را بدست آورید. جوابتون رو میتونید توی بخش نظرات بذارید . ممنون

ب م م یا بزرگترین مقسوم علیه مشترک به روش تجزیه درختی اعداد